有 序 与 无 序

------谈三上《数学广角》中学生学习的误区

黄伟红

在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，在三年级上册教材中继续学习排列与组合的内容。本册教材就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。与二年级上册教材相比，本册教材的内容更加系统、全面，分别介绍了排列以及组合，重在向学生渗透这些数学思想，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

但是在实际的学习中，对于排列与组合的题目学生比较容易搞错。让我们细细体会一下学生搞错的原因，在于它们两者的共同点都是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。而学生没有这些理论做基础，所以在具体的解题中由于题意理解不透，造成对排列与组合这两种事件的混淆。

【错例一】

有这样一个习题：新学期开学了，小英买了3张不同颜色的书封包新书，有多少种不同的包法？

书：

书封：

受前面学习中搭配内容的影响，再加上题目中把书和书封放在上下两排，学生马上就想到了连线的方式，数学书可以有蓝色、黄色、绿色3种包法，同样道理语文书和英语书也各有3种包法，所以就列成算式3×3=9（种）了。学生这样做，其实他们对于怎样算完成一种包书理解不透，虽然在包第一本书时的确有三种选择，但是在包第二本书时只有两种选择了，当包最后一本书时只有一种选择了，也就是说只有把三种颜色都分别包在了三种书中，这样才叫完成一种包法，这种方法就是一种乘法原理，列成算式就是3×2×1=6（种）。当然这道题也可以用加法原理来思考：当我们确定一种书包完颜色后，剩下的两种书和两种颜色有两种包法：即

数学（蓝色）、语文（黄色）、英语（绿色）

或者数学（蓝色）、语文（绿色）、英语（黄色）

同样道理，当确定语文书的颜色后或者确定英语书的颜色后，剩下的另两种书和另两种颜色各有两种不同的包法，即：

语文（蓝色）、数学（黄色）、英语（绿色）

或者语文（蓝色）、数学（绿色）、英语（黄色）

英语（蓝色）、数学（黄色）、语文（绿色）

或者英语（蓝色）、数学（绿色）、语文（黄色）

学生在思考中就能发现这里一共有3个2种包法，列成算式是2+2+2=6（种），但我们习惯于用乘法计算更加方便：3×2=6（种）

类似的问题还会出现在下面的题目中：有三个房间，小红、小明、小强每人住一间。你能为他们安排一下，一共有几种住法吗？

学生就是很容易列成错误的算式3×3=9（种）。当让学生把每种方法中每人住在哪间房罗列出来后学生就不会错了。其实归到本质上讲，每一种排列法在事物与事物之间没有直接的联系，似乎各自为政，不用考虑其它因素；而组合在同一种中必须把所有的事物都安排好才算同一种，就如刚在的住房中，只有让三个人分别在三间房中住下了才能算一种。

【错例二】

对与下面的两道习题，不同的学生有不同的做法：（1）一个问题有A、B、C、D四个答案，期中只有两个答案是正确的。正确的答案可能有哪些？请写一写。（2）从4、5、6、7这四张卡片中选择两张，可以写几个不同的两位数？请写一写。

生1：（1）AB、AC、AD、BC、BD、CD （2）45、46、47、56、57、67

生2：（1）AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC

（2）45、46、47、54、56、57、64、65、67、74、75、76

对于上面两种学生的做法，其实他们是把这两道题看成同一种类型了，要么都是要考虑顺序的，要么都是不要考虑顺序的，究其原因还是学生没有好好理解题意，对题意混淆不清。像第一个问题第二种学生在做的答案中AB和BA就是A和B同一种选择，不存在把顺序颠倒了就出现两种不同的情况；而第一种学生在做第二个问题时，受第一题思维定势的影响，没仔细理解交换两个数的位置会产生另一个新的两位数而出错。的确，对于三年级的学生来说，看似差不多的问题他们还不善于透过现象看本质，所以就造成相似问题之间的相互影响与干扰。针对这些情况，在上课中我们还是要特别强调让学生细细品题，真正理解题意，并联系生活实际，理清有序与无序对答题结果的影响，使学生能正确解答。